摘要

針對(duì)電力市場(chǎng)均衡策略的求解,現(xiàn)階段國(guó)內(nèi)外廣泛采用非線性互補(bǔ)算法和循環(huán)迭代的方法。其中,非線性互補(bǔ)算法是通過Karush-Kuhn-Tucker條件將發(fā)電商最優(yōu)反應(yīng)函數(shù)轉(zhuǎn)換成一組半光滑非線性互補(bǔ)方程組,松弛因子維度高且算法異常復(fù)雜。而循環(huán)迭代法采用重復(fù)求解各發(fā)電商的最優(yōu)反應(yīng)函數(shù)的思想,常常因?yàn)槭諗啃圆疃蟛坏骄饨狻ａ槍?duì)上述問題,提出了一種基于雙層粒子群算法求解市場(chǎng)均衡的思路。其中,外層粒子群算法搜索可行域內(nèi)的策略組合,以提出的納什適應(yīng)度函數(shù)為尋優(yōu)標(biāo)準(zhǔn);內(nèi)層粒子群算法和內(nèi)點(diǎn)法結(jié)合計(jì)算外層中的納什適應(yīng)度函數(shù)值。采用標(biāo)準(zhǔn)3節(jié)點(diǎn)和IEEE 30節(jié)點(diǎn)測(cè)試系統(tǒng)對(duì)所提算法進(jìn)行了仿真,求得結(jié)果與采用非線性互補(bǔ)算法的結(jié)果完全一致,驗(yàn)證了所提出的雙層粒子群算法的有效性。

0 引言

納什均衡是預(yù)測(cè)和分析電力市場(chǎng)走向的有效工具,對(duì)市場(chǎng)的設(shè)計(jì)及監(jiān)管具有重要意義[1]。一直以來,求解電力市場(chǎng)均衡是一個(gè)十分復(fù)雜的問題。經(jīng)典的古諾均衡[2-3]和供給函數(shù)均衡[4-5]解析計(jì)算方法,由于沒有考慮網(wǎng)絡(luò)阻塞、出力約束等,無(wú)法適應(yīng)于實(shí)際電力市場(chǎng)均衡計(jì)算,因此需要探索有效的方法求解電力市場(chǎng)均衡問題。

關(guān)于電力市場(chǎng)均衡的求解算法,國(guó)內(nèi)外學(xué)者做了許多研究。文獻(xiàn)[6-7]運(yùn)用窮舉法獲取發(fā)電商的最優(yōu)反應(yīng)函數(shù)以探討市場(chǎng)古諾均衡。文獻(xiàn)[8]利用迭代的方法求解納什均衡,但常常因?yàn)槭諗啃圆疃蟛坏骄饨?文獻(xiàn)[9-11]利用Karush-Kuhn-Tucker條件,將發(fā)電商的雙層優(yōu)化問題轉(zhuǎn)換成一組半光滑非線性互補(bǔ)方程組,但是算法轉(zhuǎn)化過程及半光滑方程組的求解過程異常復(fù)雜,中間松弛變量維數(shù)高;文獻(xiàn)[12-15]將發(fā)電商競(jìng)價(jià)的均衡問題模擬成種群協(xié)同進(jìn)化的過程,采用協(xié)同進(jìn)化算法求解,但發(fā)電商某策略下的收益是隨對(duì)手策略變化的,單純將發(fā)電商的收益作為評(píng)估策略的適應(yīng)度,理論可靠性有待商榷;文獻(xiàn)[16-17]運(yùn)用多項(xiàng)式方程系統(tǒng)算法求解市場(chǎng)存在的混合策略均衡,當(dāng)策略離散度高時(shí)求解時(shí)間也等比增加,且需要對(duì)結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證,不適合進(jìn)行大規(guī)模求解計(jì)算。文獻(xiàn)[18]用多智能體仿真系統(tǒng) (agent-based modeling of electricity systems,AMES)模擬市場(chǎng)均衡,可仿真的結(jié)果并未收斂至納什均衡解。由此,本文提出了一種基于雙層粒子群算法(particle swarm optimization,PSO)求解電力市場(chǎng)均衡的新思路。

針對(duì)求解電力市場(chǎng)均衡的復(fù)雜問題,本文從納什均衡的理論出發(fā),提出了納什適應(yīng)度函數(shù)用以評(píng)價(jià)策略組合是否為納什均衡,并采用雙層粒子群算法進(jìn)行均衡策略的進(jìn)化求解。最后,采用標(biāo)準(zhǔn)3節(jié)點(diǎn)測(cè)試系統(tǒng)和IEEE 30節(jié)點(diǎn)測(cè)試系統(tǒng)對(duì)本文所提算法進(jìn)行了仿真分析,仿真結(jié)果與用非線性互補(bǔ)算法求得的結(jié)果完全一致,驗(yàn)證了本文提出的雙層粒子群算法的有效性。

1 電力市場(chǎng)運(yùn)營(yíng)模式

電力市場(chǎng)采用暗標(biāo)拍賣的機(jī)制,發(fā)電商各自提交報(bào)價(jià)策略,獨(dú)立系統(tǒng)運(yùn)營(yíng)商(independent system operator,ISO)在滿足系統(tǒng)運(yùn)行約束的條件下,按照最大化社會(huì)福利進(jìn)行市場(chǎng)出清。

1.1 發(fā)電商供給函數(shù)模型

本文采用線性供給函數(shù)(linear supply function,LSF)模型構(gòu)建發(fā)電商的報(bào)價(jià)策略,單位時(shí)間內(nèi),發(fā)電商的成本函數(shù)可以表示為出力的二次函數(shù)：

1.2 負(fù)荷需求模型

與發(fā)電商報(bào)價(jià)函數(shù)對(duì)應(yīng),負(fù)荷逆需求函數(shù)反映了用戶意愿接受的用電價(jià)格與用電量的關(guān)系。

2 電力市場(chǎng)納什均衡模型

2.1 納什均衡基礎(chǔ)

納什適應(yīng)度函數(shù)fnash取得最大值n,納什均衡是該適應(yīng)度函數(shù)的全局最優(yōu)點(diǎn)。

由此,可以運(yùn)用粒子群算法搜索策略組合域{S1,S2,?,Sn}內(nèi)的所有取值組合,計(jì)算其納什適應(yīng)度函數(shù)值,直到搜索得到適應(yīng)度最大的策略組合。所以,求解納什均衡的關(guān)鍵在于計(jì)算納什適應(yīng)度函數(shù)值。納什適應(yīng)度函數(shù)的分子部分是發(fā)電商收益,通過計(jì)算ISO的出清問題(式(6)(7))便可求得;分母部分則是發(fā)電商在已知對(duì)手策略情況下最大化自身收益的雙層優(yōu)化模型。下面討論求解發(fā)電商競(jìng)價(jià)的雙層優(yōu)化模型。

2.3 發(fā)電商競(jìng)價(jià)的雙層優(yōu)化模型

發(fā)電商在已知對(duì)手策略情況下最大化自身收益是一個(gè)雙層優(yōu)化模型。下層是ISO市場(chǎng)出清問題,將節(jié)點(diǎn)電價(jià)、發(fā)電商中標(biāo)出力返回上層;上層是發(fā)電商在策略約束下最大化收益問題。

本文采用粒子群和內(nèi)點(diǎn)法求解發(fā)電商競(jìng)價(jià)的雙層優(yōu)化問題[20]。發(fā)電商競(jìng)價(jià)的雙層優(yōu)化問題,已有大量文獻(xiàn)對(duì)其進(jìn)行不同的求解分析,一般稱為上下層。而本文提出的雙層粒子群算法也是一個(gè)雙層優(yōu)化問題,為與上述叫法區(qū)分開,稱為內(nèi)外層。

3 求解算法

本文運(yùn)用雙層粒子群算法求解電力市場(chǎng)均衡,算法思路如圖1所示。其中,外層采用粒子群算法搜索可行域內(nèi)的所有策略組合,計(jì)算其納什適應(yīng)度值,以此判斷其是否為納什均衡;而計(jì)算策略組合的納什適應(yīng)度值屬于內(nèi)層問題,需要求解“發(fā)電商競(jìng)價(jià)的雙層優(yōu)化問題”(這是一個(gè)上下層問題,見2.3節(jié))方能解決,內(nèi)層采用粒子群算法和內(nèi)點(diǎn)法結(jié)合求解“發(fā)電商競(jìng)價(jià)的雙層優(yōu)化問題”。通過內(nèi)外層的配合,從而整個(gè)市場(chǎng)均衡問題通過兩層粒子群

算法得到了解決。

3.1 外層粒子群算法搜索策略組合

采用粒子群算法搜索發(fā)電商的策略組合,以納什適應(yīng)度函數(shù)評(píng)價(jià)解的品質(zhì),求解流程如圖2所示。

3.2 內(nèi)層粒子群和內(nèi)點(diǎn)法求解納什適應(yīng)度函數(shù)

采用粒子群和內(nèi)點(diǎn)法[21-22]求解各發(fā)電商最大化收益的雙層優(yōu)化模型,套用式(11),便可得到組合策略XitXti對(duì)應(yīng)的納什適應(yīng)度函數(shù)值,具體求解流程如圖3所示。其中,內(nèi)層粒子群算法流程與圖2類似,此處不再贅述,區(qū)別在于粒子適應(yīng)度為發(fā)電商收益,粒子位置為單個(gè)發(fā)電商策略。

3.3 算法分析

1)采用粒子群算法搜索均衡解,規(guī)避了求解發(fā)電商雙層優(yōu)化構(gòu)成的半光滑非線性方程組,在保證結(jié)果準(zhǔn)確的前提下,以時(shí)間代價(jià)換取算法簡(jiǎn)化。

2)求解時(shí)間長(zhǎng)是粒子群這類智能算法避免不了的問題,但由于其可并行計(jì)算的特性,可以采用matlab并行計(jì)算函數(shù)parfor進(jìn)行多線程計(jì)算,從而大大減小求解時(shí)間。

3)可能存在內(nèi)層粒子群搜索不徹底造成納什適應(yīng)度函數(shù)值偏大的情況,但文獻(xiàn)[20]和多次重復(fù)仿真結(jié)果表明,內(nèi)層粒子群的一維搜索能力可以媲美全局最優(yōu)。

4 算例分析

4.1 3節(jié)點(diǎn)測(cè)試系統(tǒng)

為了驗(yàn)證雙層粒子群算法的有效性,本節(jié)運(yùn)用雙層粒子群算法求解文獻(xiàn)[9-10]的3節(jié)點(diǎn)測(cè)試系統(tǒng),并將求解結(jié)果進(jìn)行比對(duì)。3節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浜突緟?shù)如圖4和表1所示,各節(jié)點(diǎn)間由相同導(dǎo)納的線路相連,線路1-2的輸電上限為L(zhǎng)max。

考慮兩種情況,一種為無(wú)輸電阻塞(Lmax= 500 MW)的情形,另一種為有輸電阻塞(Lmax= 25 MW)的情形。

仿真參數(shù)設(shè)置：外層粒子群,粒子數(shù)目10,最大進(jìn)化代數(shù)200;內(nèi)層粒子群,粒子數(shù)目12,最大進(jìn)化代數(shù)200;kmin,kmax分別取1和2。

1)情形1,無(wú)輸電阻塞Lmax=500 MW。

最優(yōu)粒子的位置和納什適應(yīng)度值變化情況如圖5所示,左軸是策略組合系數(shù),右軸是策略組合的納什適應(yīng)度值。隨著進(jìn)化代數(shù)增加,最優(yōu)粒子的納什適應(yīng)度值越來越大,最終趨近2.0達(dá)到收斂,策略組合收斂至(1.1343;1.0825),此結(jié)果與文獻(xiàn)[9-10]中用非線性互補(bǔ)算法求得的結(jié)果完全一致,說明了本文提出算法的有效性。

2)情形2,有輸電阻塞Lmax=25 MW。

在有輸電阻塞下,進(jìn)化過程中最優(yōu)粒子的位置和納什適應(yīng)度值變化情況如圖6所示。隨著進(jìn)化代數(shù)增加,最優(yōu)粒子的納什適應(yīng)度值越來越大,約90代后收斂于2.0,策略組合收斂至(1.3367; 1.2525),這和非線性互補(bǔ)算法求解的結(jié)果也完全相符。

圖6 Lmax=25 MW下進(jìn)化過程中最優(yōu)粒子位置及適應(yīng)度

Fig. 6 Optimal particle position and fitness in evolution underLmax=25 MW

對(duì)比供給函數(shù)均衡和完全競(jìng)爭(zhēng)下的出清結(jié)果(如表2所示),發(fā)電商在供給函數(shù)均衡下的收益普遍高于完全競(jìng)爭(zhēng)下的,但社會(huì)福利卻低于完全競(jìng)爭(zhēng)下的。此結(jié)果表明,在不完全競(jìng)爭(zhēng)的市場(chǎng)中,發(fā)電商可以采取策略性報(bào)價(jià)增加自身收益,但以社會(huì)福利的損失為代價(jià)。再比較有阻塞和無(wú)阻塞下發(fā)電商均衡策略組合,有阻塞下發(fā)電商的均衡報(bào)價(jià)系數(shù)均高于無(wú)阻塞下,說明在阻塞情況下發(fā)電商可以在小范圍內(nèi)行使市場(chǎng)力。同時(shí)阻塞的存在也改變了用戶的收益格局,阻塞的存在不一定會(huì)使所有發(fā)電商的收益減少,可能使某些發(fā)電商收益減少,卻使其它發(fā)電商收益增加。因線路1-2阻塞的存在,使得成本占絕對(duì)優(yōu)勢(shì)的G1無(wú)法向D2供應(yīng)更多的電量,D2只得轉(zhuǎn)而向成本較高的G2購(gòu)電,造成了發(fā)電商中標(biāo)電量顛覆性的改變,從而G2收益較無(wú)阻塞顯著增加、G1收益較無(wú)阻塞顯著減少。

表2 不同情形下的均衡策略組合和收益情況

Tab. 2 Equilibrium strategy portfolio and income under two different conditions

4.2 IEEE 30節(jié)點(diǎn)測(cè)試系統(tǒng)

IEEE 30節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)包含6個(gè)發(fā)電商,20個(gè)負(fù)荷,41條支路。其中,發(fā)電商成本參數(shù)如表3所示,網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浼柏?fù)荷數(shù)據(jù)見附錄。選取3條潮流最大的支路1-2、12-13、15-23,設(shè)置輸電上限15 MW,使其發(fā)生阻塞。

表3 發(fā)電商的參數(shù)

Tab. 3 Data of GenCo

考慮2種情況：一種為發(fā)電商間無(wú)合謀,6個(gè)發(fā)電商獨(dú)立競(jìng)價(jià);另一種為發(fā)電商間有合謀,G1/ G2/G3屬于合謀集團(tuán)1,G4/G5/G6屬于合謀集團(tuán)2。

仿真參數(shù)設(shè)置：外層粒子群粒子數(shù)目16,最大進(jìn)化代數(shù)300;內(nèi)層粒子群粒子數(shù)目10,最大進(jìn)化代數(shù)200;kmin、kmax分別取1和3。

1)情形3,發(fā)電商間無(wú)合謀(6機(jī)獨(dú)立競(jìng)價(jià))。

圖7記錄了雙層粒子群算法尋優(yōu)過程中最優(yōu)粒子的策略組合和納什適應(yīng)度值。

圖7 情形3(進(jìn)化過程中最優(yōu)粒子位置和適應(yīng)度)

Fig. 7 Optimal particle position and fitness in evolution under situation 3

無(wú)合謀的情形下,收斂的均衡策略組合如表4所示,可以看到,只有發(fā)電商G1/3/5以高于邊際成本報(bào)價(jià),而發(fā)電商G2/4/6卻按邊際成本報(bào)價(jià)。這種現(xiàn)象可以從出清結(jié)果中解釋：比較發(fā)電商所在節(jié)點(diǎn)電價(jià)和發(fā)電商邊際電價(jià),當(dāng)發(fā)電商未滿出力時(shí),其節(jié)點(diǎn)電價(jià)與邊際電價(jià)是一致的,此時(shí)發(fā)電商可以通過策略性報(bào)價(jià)改變節(jié)點(diǎn)電價(jià)和中標(biāo)量,從而改變利潤(rùn);而當(dāng)發(fā)電商滿出力時(shí),其節(jié)點(diǎn)電價(jià)是大于邊際電價(jià)的,此時(shí)發(fā)電商所在節(jié)點(diǎn)電價(jià)不再受自身策略性報(bào)價(jià)的控制,而是由未滿出力發(fā)電商的邊際電

表4 不同情形下的均衡策略組合和收益情況

Tab. 4 Equilibrium strategy portfolio and income under two different conditions

價(jià)、網(wǎng)絡(luò)阻塞情況決定。發(fā)電商G2/4/6的額定容量小、負(fù)荷需求量大,導(dǎo)致其在邊際成本一定范圍內(nèi)報(bào)價(jià)均會(huì)滿出力中標(biāo),此時(shí)發(fā)電商的節(jié)點(diǎn)電價(jià)和中標(biāo)量不受自身報(bào)價(jià)的影響,發(fā)電商報(bào)高價(jià)與報(bào)低價(jià)沒有區(qū)別,反而報(bào)價(jià)過高會(huì)導(dǎo)致中標(biāo)量減小、利潤(rùn)降低。

2)情形4,發(fā)電商間有合謀(G1/G2/G3屬于合謀集團(tuán)1,G4/G5/G6屬于合謀集團(tuán)2)。

在發(fā)電商間有合謀的情況下,進(jìn)化過程中最優(yōu)粒子的位置變化及納什適應(yīng)度值如圖8所示,收斂的均衡策略組合如表4所示。

比較情形3和完全競(jìng)爭(zhēng)下發(fā)電商的收益,如表4所示。發(fā)電商G2均按邊際成本報(bào)價(jià),但寡頭競(jìng)爭(zhēng)下的收益卻小于完全競(jìng)爭(zhēng)下的。原因在與雖然兩種情況下G2的中標(biāo)量都是一樣的,但由于阻塞程度不同造成寡頭競(jìng)爭(zhēng)下節(jié)點(diǎn)電價(jià)低于完全競(jìng)爭(zhēng)下的,所以G2在寡頭競(jìng)爭(zhēng)下的利潤(rùn)更低些。在完全競(jìng)爭(zhēng)下,各發(fā)電商均按邊際成本報(bào)價(jià),價(jià)格低了市場(chǎng)成交量就很大,導(dǎo)致線路1-2阻塞嚴(yán)重,處于阻塞線路受端的節(jié)點(diǎn)G2,其節(jié)點(diǎn)電價(jià)相比正常水平高出了許多(14行3列)。而在寡頭競(jìng)爭(zhēng)下,部分發(fā)電商以高于邊際成本報(bào)價(jià),價(jià)格高了市場(chǎng)成交量

圖8 情形4(進(jìn)化過程中最優(yōu)粒子位置和適應(yīng)度)

Fig. 8 Optimal particle position and fitness in evolution under situation 4

相對(duì)少,阻塞情況相對(duì)完全競(jìng)爭(zhēng)減輕了,處于支路受端G2的節(jié)點(diǎn)電價(jià)也就相對(duì)小了一些(13行3列)。由于網(wǎng)絡(luò)阻塞程度不同造成的節(jié)點(diǎn)電價(jià)不同,引起了發(fā)電商G2在寡頭競(jìng)爭(zhēng)時(shí)利潤(rùn)比完全競(jìng)爭(zhēng)時(shí)低。

再比較無(wú)合謀與有合謀(情形3和情形4)下發(fā)電商的均衡策略組合,有合謀下各發(fā)電商的收益未必都大于無(wú)合謀下的收益,但合謀整體的利潤(rùn)均高于無(wú)合謀下的。例如：G1/G2/G3組成的合謀集團(tuán)1,合謀后的總收益比無(wú)合謀高出1.6 USD;G4/G5/G6組成的合謀集團(tuán)2,合謀后的總收益比無(wú)合謀高出21.3 USD,但合謀下的社會(huì)福利卻相比無(wú)合謀減少了802.9 USD。此結(jié)果表明,在不完全競(jìng)爭(zhēng)市場(chǎng)中,發(fā)電商之間可以通過合謀形式彼此之間聯(lián)合報(bào)價(jià)以提升整體的利潤(rùn),卻以犧牲社會(huì)福利為代價(jià)。對(duì)此,電力監(jiān)管部門應(yīng)制定嚴(yán)格的電力法規(guī)和激勵(lì)措施,引導(dǎo)發(fā)電商披露真實(shí)邊際成本,遏制發(fā)電商間合謀競(jìng)價(jià)的投機(jī)行為,促使電力市場(chǎng)向開放健康的方向發(fā)展。

5 結(jié)論

針對(duì)求解電力市場(chǎng)策略均衡的復(fù)雜問題,在綜述現(xiàn)有求解方法的基礎(chǔ)上,本文提出了雙層粒子群算法求解均衡策略,并采用標(biāo)準(zhǔn)3節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)和IEEE 30節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)對(duì)上述算法進(jìn)行了驗(yàn)證,得出了以下結(jié)論：

1)本文提出的雙層粒子群算法可以有效的用于求解電力市場(chǎng)均衡的問題,甚至可以延伸至求解主輔聯(lián)合市場(chǎng)均衡的問題。

2)發(fā)電商在寡頭競(jìng)爭(zhēng)下的利潤(rùn)不一定都比完全競(jìng)爭(zhēng)下的高,發(fā)電商所處地理位置和自身機(jī)組的容量限制,可能導(dǎo)致發(fā)電商在寡頭競(jìng)爭(zhēng)下的收益低于完全競(jìng)爭(zhēng)下的。

3)在不完全競(jìng)爭(zhēng)的電力市場(chǎng)中,發(fā)電商之間可以通過合謀提升整體利潤(rùn)、削減社會(huì)福利。對(duì)此,電力監(jiān)管部門應(yīng)制定嚴(yán)格的電力法規(guī),遏制發(fā)電商間合謀競(jìng)價(jià)的投機(jī)行為。